9 клас. Комбінаторні задачі. Комбінаторні правила суми і добутку.

 Тема. Комбінаторні задачі. Комбінаторні правила суми і добутку.

Мета: ознайомитися з поняттям комбінаторика та комбінаторними правилами суми і добутку; розглянути задачі, які можна розв'язати за допомогою комбінаторних правил суми і добутку; формувати логічне мислення під час розв'язування комбінаторних задач.

Доброго дня, дев'ятикласники та дев'ятикласниці! Сьогодні ми розглянемо дуже цікаву тему "Комбінаторні задачі. Комбінаторні правила суми і добутку". Відкрийте, будь-ласка, свої робочі зошити та запишіть тему нашого уроку.

Під час повсякденної діяльності людина часто зіштовхується з проблемою вибору. Ці проблеми можуть бути, як легкими, так і ні. Але людина все-рівно робить свій вибір, розв'язуючи проблему. Буває, люди мають великий вибір під час розв'язування деякої проблеми, а буває, - ні. Якщо ви помітили, то у моєму монолозі зустрічаються слова "Так" та "Ні",що суперечать одне одному. Це значить, що завжди, навіть зараз, ми розглядаємо деяку множину проблем, які бувають різними і які можна розв'язати різними способами. Для цього ми вивчимо правила, які допоможуть розв'язати деякі проблеми.

Комбінаторика - це розділ математики, що вивчає питання вибору та розташування елементів деякої скінченної множини відповідно до заданих умов.

Приклад 1.

Ви зайшли у магазин для покупки кави або чаю. Скількома способами ви оберете каву або чай, якщо перед вами є такий вибір:

Кава: Маккава, Нескафе, Якобс, розсипна кава.

Чай: Ліптон, Батік, Прінцеса Нурі, Грінфілд, Цейлонський чай, За Динамо.

Бачимо, що є 4 види кави та 6 видів чаю. Отже, один елемент можна вибрати 4 + 6 = 10 способами. 

Комбінаторне правило суми:

якщо деякий елемент А можна вибрати "а" способами, а елемент В - "b" способами, то вибрати А або В можна а+b способами.

Приклад 2.

Ви зайшли у магазин для покупки кави та чаю. Скількома способами ви оберете каву та чай, якщо перед вами є такий вибір:

Кава: Маккава, Нескафе, Якобс, розсипна кава.

Чай: Ліптон, Батік, Прінцеса Нурі, Грінфілд, Цейлонський чай, За Динамо.

Бачимо, що є 4 види кави та 6 видів чаю. До кожного виду кави можна віднести кожен вид чаю. Щоб ви зрозуміли я напишу комбінації видів: 

1) (Маккава, Ліптон), (Маккава, Батік), (Маккава, Прінцеса Нурі), (Маккава, Грінфілд), (Маккава, Цейлонський чай), (Маккава, За Динамо);

2) (Нескафе, Ліптон), (Нескафе, Батік), (Нескафе, Прінцеса Нурі), (Нескафе, Грінфілд), (Нескафе, Цейлонський чай), (Нескафе, За Динамо);

 3) (Якобс, Ліптон), (Якобс, Батік), (Якобс, Прінцеса Нурі), (Якобс, Грінфілд), (Якобс, Цейлонський чай), (Якобс, За Динамо);

4) (Розсипна кава, Ліптон), (Розсипна кава, Батік), (Розсипна кава, Прінцеса Нурі), (Розсипна кава, Грінфілд), (Розсипна кава, Цейлонський чай), (Розсипна кава, За Динамо).

Отже, два різних елемента ми обрали 4۰6 = 24 способами.

Комбінаторне правило добутку:

якщо деякий елемент А можна вибрати "а" способами і після кожного такого вибору інший елемент В можна вибрати "b" способами, то пару елементів вибрати А і В можна а۰b способами.

Приклад 3.

Ви зайшли у магазин для покупки кави та двох видів чаю. Скількома способами ви оберете каву та два види чаю, якщо перед вами є такий вибір:

Кава: Маккава, Нескафе, Якобс, розсипна кава.

Чай: Ліптон, Батік, Прінцеса Нурі, Грінфілд, Цейлонський чай, За Динамо.

Бачимо, що є 4 види кави та 6 видів чаю. Кожен з 6 видів чаю можна обрати з 5 іншими видами чаю. Отже, обрати пару різних видів чаю можна 5۰6 = 30 способами. Але, оскільки ми обираємо пару з шести елементів однієї множини, кожні два види чаю будуть повторюватись. Тобто (Ліптон, Батік), (Батік, Ліптон). Отже, обрати пару різних видів чаю можна 5۰6 : 2 = 15 способами. Тепер до кожної такої пари різних видів чаю можна вибрати будь-який один з чотирьох видів кави 15۰4 = 60 способами.

Шановні підлітки! Сподіваюся, ви зрозуміли що вивчає комбінаторика та зможете самостійно спробувати застосувати комбінаторні правила суми та добутку під час розв'язування комбінаторних задач у домашньому завданні. Надішліть свої домашні роботи на електронну скриньку вчителя до 15.04.. Такий великий термін на виконання домашнього завдання дано не просто так! А для того, щоб ви ретельно переглянули сьогоднішній урок та винесли з нього корисні висновки для себе.

Домашнє завдання.

Опрацювати параграф 21 та вивчити комбінаторні правила суми та добутку.

Розв'язати:

Проблема 1.

Скількома способами можна вибрати пару з одного голосного і одного приголосного звуків у слові "алгебра"?

Проблема 2.

У 9-А класі навчаються 25 учнів і учениць. Скількома способами можна обрати командира класу серед хлопців та заступника командира класу серед дівчат, якщо у класі 12 хлопців і 13 дівчат?

Проблема 3.

У 9-А класі навчаються 25 учнів і учениць. Для генерального прибирання класу потрібно 6 осіб. Скількома способами можна обрати двох чергових серед хлопців та чотирьох чергових серед дівчат, якщо у класі 12 хлопців і 13 дівчат?

Дякую за увагу! Бережіть себе та своїх близьких! Успіхів у навчанні!